高等代数，第四版，第一章P46，T24

数学兴趣大讲堂

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19世纪数学

在19世纪期间，数学的抽象程度显著增加了。卡尔·弗里德里希·高斯是这股浪潮的缩影。姑且不谈他对科学的贡献，他在复变函数、几何学和收敛级数上做出了革命性的工作。它也是给出代数基本定理和二次互反律令人满意的证明的第一人。

三种几何学中的平行线

在 这个世纪，发展出两种形式的非欧几里得几何，欧几里得的平行公设在这种几何中就不再成立了。俄罗斯数学家尼古拉·罗巴切夫斯基和他的竞争对手匈牙利数学家鲍耶·亚诺什，都独自的定义并研究了双曲几何。在双曲几何中，过一点可做的平行线不再是唯一了，而三角形的内角和小于180度。椭圆几何随后在19世纪由 德国数学家波恩哈德·黎曼建立，在椭圆几何中，平行线一条也不能做了，而三角形的内角和大于180度。黎曼也将这三种几何学加以一般化并统一，发展出了黎 曼几何。黎曼定义了“流形”的概念，从而将曲线和平面的概念推广了。

19世纪出现了抽象代数的伟大思想，德国的赫尔曼·格拉斯曼想出了最 早的向量空间。爱尔兰的威廉·哈密顿则发展出了不遵循交换律的代数学。英国数学家乔治·布尔构想出了一种新的代数学，随后演化为了我们今天的布尔代数。布 尔代数中只有0和1两种数值，是数理逻辑学的起点，并且在计算机科学中拥有众多重要应用。

奥古斯丁·路易·柯西、黎曼和卡尔·魏尔斯特拉斯则以在数学上更加严谨的形式重新表述了微积分。

同时，数学的局限性也第一次被发现了。挪威人尼尔斯·阿贝尔和法国人埃瓦里斯特·伽罗瓦证明了高于四次的多项式方程不存在通行的代数解法，也就是阿贝尔-鲁菲尼定理。其它19世纪的数学家应用了这个定理，从而证明了仅靠尺规作图将三等分任意角、将一个立方体扩大两倍，或者构造一个和正方形面积相等的圆，都是 不可能的。而自古希腊以来数学家就在尝试解决这三个难题了。在另一方面，几何学仅有三维的局限性，因参数空间和超复数的提出而被克服了。

阿贝尔和伽罗瓦对多项式方程的解的研究，奠定了日后群论和抽象代数相关的发展基础。20世纪的物理学家和其他科学家发现群论是研究对称性的理想工具。

在19世纪晚期，格奥尔格·康托尔首次建立了集合论。集合论让人们可以严谨地表示极限的概念，并且随后成为了几乎所有数学家的通用语言。康托尔的集合论和数理逻辑在皮亚诺、鲁伊兹·布劳威尔、大卫·希尔伯特和伯特兰·罗素手中蒸蒸日上，也引发了关于数学基础的长时间争论。

在19世纪，大量的国家数学协会被建立起来，例如1865年伦敦数学协会、1872年法国数学协会、1884年意大利数学协会、1883年苏格兰数学协会，以及1888年的美国数学协会。而首个国际性的特别兴趣协会 —— 四元数协会 —— 在当时矢量等概念还存在争议的历史背景下，成立于1899年。

1897年，库尔特·亨泽尔引入了数论中的p进数概念。

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